专升本数学严选800题 - 强化部分

极值、拐点、渐近线与积分

一、解答题（题号646-684）

646. 求函数 $y=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x-\frac{1}{3}$ 的极值。
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     答案: 极大值 $y(1)=\frac{5}{6}$，极小值 $y(2)=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$？需重新计算

     解: $y'=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$。

     令 $y'=0$ 得 $x=1$ 或 $x=2$。

     $y''=2x-3$，$y''(1)=-1 < 0$，故 $x=1$ 是极大值点。

     $y(1)=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$。

     $y''(2)=1 > 0$，故 $x=2$ 是极小值点。

     $y(2)=\frac{8}{3}-6+4-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}-2=\frac{1}{3}$。

     极大值 $y(1)=\frac{1}{2}$，极小值 $y(2)=\frac{1}{3}$。
647. 求函数 $f(x)=\int_0^x te^t dt$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值和最小值。
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     答案: 最大值 $f(1)=1$，最小值 $f(-1)=1-2e^{-1}$

     解: $f'(x)=xe^x$，令 $f'(x)=0$ 得 $x=0$。

     计算 $f(x)=\int_0^x te^t dt=(t-1)e^t\big|_0^x=(x-1)e^x+1$。

     $f(0)=0$，$f(1)=1$，$f(-1)=-2e^{-1}+1=1-\frac{2}{e}$。

     比较：$f(1)=1$，$f(0)=0$，$f(-1)=1-\frac{2}{e}\approx 1-0.736=0.264$。

     最大值 $f(1)=1$，最小值 $f(0)=0$？不对，$f(-1)\approx 0.264 > 0$。

     实际上 $f(-1)=1-2e^{-1}\approx 0.264$，$f(0)=0$，所以最小值是 $f(0)=0$。

     但再检验：$f(x)=(x-1)e^x+1$，$f(-1)=-2e^{-1}+1\approx 0.264$，$f(0)=0$。

     所以最小值 $f(0)=0$，最大值 $f(1)=1$。
648. 确定曲线 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ 中的 $a$、$b$、$c$、$d$，使得 $x=-2$ 处曲线有水平切线，$(1,-10)$ 为拐点，且点 $(-2,44)$ 在曲线上。
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     答案: $a=1,b=-3,c=-24,d=16$

     解: 条件1：$y'(-2)=0$，即 $3a(-2)^2+2b(-2)+c=12a-4b+c=0$。

     条件2：$(1,-10)$ 在曲线上，$a+b+c+d=-10$。

     条件3：$(1,-10)$ 为拐点，$y''(1)=0$，即 $6a+2b=0$，$3a+b=0$。

     条件4：$(-2,44)$ 在曲线上，$-8a+4b-2c+d=44$。

     由条件3：$b=-3a$。

     代入条件1：$12a+12a+c=0$，$c=-24a$。

     代入条件2：$a-3a-24a+d=-10$，$-26a+d=-10$。

     代入条件4：$-8a-12a+48a+d=44$，$28a+d=44$。

     解得：$54a=54$，$a=1$，$b=-3$，$c=-24$，$d=16$。
649. 讨论曲线 $y=x\sin x+2\cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}\right)$ 的凹凸区间和拐点。
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     答案: 拐点 $(0,2)$；凸区间 $\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$，凹区间 $\left(0,\frac{3\pi}{2}\right)$

     解: $y'=\sin x+x\cos x-2\sin x=x\cos x-\sin x$。

     $y''=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x$。

     令 $y''=0$：$-x\sin x=0$，在 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$ 内得 $x=0$ 或 $x=\pi$。

     分析符号：

     当 $-\frac{\pi}{2} < x < 0$：$x < 0$，$\sin x < 0$，所以 $-x\sin x < 0$，$y'' < 0$，凸。

     当 $0 < x < \pi$：$x > 0$，$\sin x > 0$，所以 $-x\sin x < 0$，$y'' < 0$？不对，$-x\sin x < 0$。

     实际上 $y''=-x\sin x$，$0 < x < \pi$ 时 $x > 0,\sin x > 0$，所以 $y'' < 0$。

     当 $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$：$x > 0$，$\sin x < 0$，所以 $y'' > 0$，凹。

     拐点：$x=0$ 时 $y=2$；$x=\pi$ 时 $y=\pi\cdot 0+2(-1)=-2$。

     所以拐点为 $(0,2)$ 和 $(\pi,-2)$。

     凸区间：$\left(-\frac{\pi}{2},0\right)\cup(0,\pi)$？实际上 $y'' < 0$ 在 $(0,\pi)$。

     重新：$-\frac{\pi}{2} < x < 0$：$y'' < 0$（凸）；$0 < x < \pi$：$y'' < 0$（凸）；$\pi < x < \frac{3\pi}{2}$：$y'' > 0$（凹）。

     所以凸区间 $\left(-\frac{\pi}{2},\pi\right)$，凹区间 $\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$，拐点 $(\pi,-2)$。

     但 $x=0$ 处 $y''=0$ 且两侧同号，不是拐点。
650. 求函数 $y=\frac{1}{2}x^2+\ln x$ 在其拐点处的切线方程。
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     答案: $y=\frac{3}{2}$（水平切线）

     解: 定义域 $x > 0$。

     $y'=x+\frac{1}{x}$，$y''=1-\frac{1}{x^2}$。

     令 $y''=0$：$x^2=1$，$x=1$（$x > 0$）。

     当 $0 < x < 1$：$y'' < 0$；当 $x > 1$：$y'' > 0$，所以 $x=1$ 是拐点。

     拐点处 $y'(1)=1+1=2$？不对，题目可能有误。

     $y(1)=\frac{1}{2}$，切线斜率 $y'(1)=2$。

     切线方程：$y-\frac{1}{2}=2(x-1)$，即 $y=2x-\frac{3}{2}$。

     但答案给出 $y=\frac{3}{2}$，可能函数不同。按计算，答案为 $y=2x-\frac{3}{2}$。
651. 求函数 $y=\frac{7x-6}{x^2-3x+2}$ 的凹凸区间和拐点。
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     答案: 需详细计算二阶导数

     解: $y=\frac{7x-6}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$。

     $7x-6=A(x-2)+B(x-1)$，令 $x=1$：$1=-A$，$A=-1$；令 $x=2$：$8=B$。

     $y=\frac{8}{x-2}-\frac{1}{x-1}$。

     $y'=-\frac{8}{(x-2)^2}+\frac{1}{(x-1)^2}$。

     $y''=\frac{16}{(x-2)^3}-\frac{2}{(x-1)^3}$。

     令 $y''=0$：$\frac{16}{(x-2)^3}=\frac{2}{(x-1)^3}$，$8(x-1)^3=(x-2)^3$。

     $2(x-1)=x-2$，$2x-2=x-2$，$x=0$。

     拐点 $(0,-3)$。凹凸区间根据 $y''$ 符号判断。
652. 求函数 $y=\frac{x^2}{(1+x)^2}$ 的水平渐近线和垂直渐近线。
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     答案: 水平渐近线 $y=1$，垂直渐近线 $x=-1$

     解: 垂直渐近线：分母为零，$x=-1$。

     $\lim_{x\to -1}\frac{x^2}{(1+x)^2}=+\infty$，所以 $x=-1$ 是垂直渐近线。

     水平渐近线：$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{(1+x)^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^2+2x+1}=1$。

     所以 $y=1$ 是水平渐近线。
653. 讨论函数 $y=\frac{x^2+1}{x+1}e^{\frac{1}{x-1}}$ 的水平渐近线和垂直渐近线。
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     答案: 垂直渐近线 $x=-1$ 和 $x=1$；水平渐近线 $y=x$（斜渐近线）

     解: 垂直渐近线：

     (1) $x=-1$：$\lim_{x\to -1}\frac{x^2+1}{x+1}e^{\frac{1}{x-1}}=\infty$，是垂直渐近线。

     (2) $x=1$：$\lim_{x\to 1^+}e^{\frac{1}{x-1}}=+\infty$，$\lim_{x\to 1^-}e^{\frac{1}{x-1}}=0$，是垂直渐近线。

     水平/斜渐近线：

     $k=\lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x(x+1)}e^{\frac{1}{x-1}}=1\cdot 1=1$。

     $b=\lim_{x\to\infty}(y-x)=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^2+1}{x+1}e^{\frac{1}{x-1}}-x\right]$。

     $=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^2+1}{x+1}(1+\frac{1}{x-1}+...)-x\right]=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^2+1}{x+1}-x\right]=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1-x^2-x}{x+1}=-1$。

     所以斜渐近线 $y=x-1$。
654. 设 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{x^2}{x^4+1}(x \neq 0)$，求 $f'(x)$，$\int x^3f(x)dx$。
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     答案: $f(x)=\frac{1}{x^2-2}$，$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2-2)^2}$，积分 $=\frac{1}{2}x^2+\ln|x^2-2|+C$

     解: 令 $t=x+\frac{1}{x}$，则 $t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$，$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$。

     $\frac{x^2}{x^4+1}=\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{t^2-2}$。

     所以 $f(t)=\frac{1}{t^2-2}$，即 $f(x)=\frac{1}{x^2-2}$。

     $f'(x)=-\frac{2x}{(x^2-2)^2}$。

     $\int x^3f(x)dx=\int\frac{x^3}{x^2-2}dx=\int\left(x+\frac{2x}{x^2-2}\right)dx=\frac{x^2}{2}+\ln|x^2-2|+C$。
655. 计算不定积分 $\int\frac{x}{(1-x)^3}dx$。
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     答案: $\frac{1}{2(1-x)^2}-\frac{1}{1-x}+C$ 或 $\frac{2x-1}{2(1-x)^2}+C$

     解: 令 $t=1-x$，$x=1-t$，$dx=-dt$。

     原式 $=\int\frac{1-t}{t^3}(-dt)=\int\frac{t-1}{t^3}dt=\int\left(\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^3}\right)dt$。

     $=-\frac{1}{t}+\frac{1}{2t^2}+C=\frac{1}{2(1-x)^2}-\frac{1}{1-x}+C$。

     $=\frac{1-2(1-x)}{2(1-x)^2}+C=\frac{2x-1}{2(1-x)^2}+C$。
656. 计算不定积分 $\int\frac{1}{x(1+x^7)}dx$。
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     答案: $\ln|x|-\frac{1}{7}\ln|1+x^7|+C$

     解: $\frac{1}{x(1+x^7)}=\frac{1+x^7-x^7}{x(1+x^7)}=\frac{1}{x}-\frac{x^6}{1+x^7}$。

     原式 $=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x^6}{1+x^7}\right)dx=\ln|x|-\frac{1}{7}\ln|1+x^7|+C$。
657. 计算不定积分 $\int\frac{1}{x\ln x\ln(\ln x)}dx$。
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     答案: $\ln|\ln(\ln x)|+C$

     解: 令 $u=\ln(\ln x)$，则 $du=\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{dx}{x\ln x}$。

     原式 $=\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|\ln(\ln x)|+C$。
658. 计算不定积分 $\int\frac{\sin x\cos x}{1+\sin^4 x}dx$。
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     答案: $\frac{1}{2}\arctan(\sin^2 x)+C$

     解: 令 $u=\sin^2 x$，则 $du=2\sin x\cos x dx$。

     原式 $=\int\frac{\frac{1}{2}du}{1+u^2}=\frac{1}{2}\arctan u+C=\frac{1}{2}\arctan(\sin^2 x)+C$。
659. 计算不定积分 $\int\frac{\arctan\sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)}dx$。
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     答案: $(\arctan\sqrt{x})^2+C$

     解: 令 $u=\arctan\sqrt{x}$，则 $du=\frac{1}{1+x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$。

     所以 $\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}=2du$。

     原式 $=\int u\cdot 2du=u^2+C=(\arctan\sqrt{x})^2+C$。
660. 计算不定积分 $\int\sin^3 x\sqrt{\cos x}dx$。
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     答案: $-\frac{2}{3}\cos^{\frac{3}{2}}x+\frac{2}{7}\cos^{\frac{7}{2}}x+C$

     解: $\sin^3 x=\sin x(1-\cos^2 x)$。

     原式 $=\int\sin x(1-\cos^2 x)\sqrt{\cos x}dx=\int\sin x(\cos^{\frac{1}{2}}x-\cos^{\frac{5}{2}}x)dx$。

     令 $u=\cos x$，$du=-\sin x dx$。

     $=-\int(u^{\frac{1}{2}}-u^{\frac{5}{2}})du=-\left(\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{7}u^{\frac{7}{2}}\right)+C$。

     $=-\frac{2}{3}\cos^{\frac{3}{2}}x+\frac{2}{7}\cos^{\frac{7}{2}}x+C$。
661. 计算不定积分 $\int\frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}dx$。
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     答案: $\frac{2}{\sqrt{\cos x}}+C$

     解: $\frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}=\frac{\sin x}{\cos x\cdot\cos^{\frac{1}{2}}x}=\frac{\sin x}{\cos^{\frac{3}{2}}x}$。

     令 $u=\cos x$，$du=-\sin x dx$。

     原式 $=\int\frac{-du}{u^{\frac{3}{2}}}=-\int u^{-\frac{3}{2}}du=-\left(-2u^{-\frac{1}{2}}\right)+C=\frac{2}{\sqrt{\cos x}}+C$。
662. 计算不定积分 $\int\frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}dx$。
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     答案: $\frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}}-\sqrt{1+x^2}+C$

     解: 令 $t=\sqrt{1+x^2}$，$t^2=1+x^2$，$2tdt=2xdx$，$xdx=tdt$。

     $x^2=t^2-1$。

     原式 $=\int\frac{x^2\cdot xdx}{\sqrt{1+x^2}}=\int\frac{(t^2-1)tdt}{t}=\int(t^2-1)dt$。

     $=\frac{t^3}{3}-t+C=\frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}}-\sqrt{1+x^2}+C$。
663. 计算不定积分 $\int\frac{xe^x}{(e^x+1)^2}dx$。
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     答案: $-\frac{x}{e^x+1}+\ln(1+e^x)+C$ 或 $-\frac{x}{e^x+1}+x-\ln(1+e^{-x})+C$

     解: 分部积分，令 $u=x$，$dv=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx$。

     $v=\int\frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx=-\frac{1}{e^x+1}$。

     原式 $=-\frac{x}{e^x+1}+\int\frac{dx}{e^x+1}$。

     $\int\frac{dx}{e^x+1}=\int\frac{e^{-x}dx}{1+e^{-x}}=-\ln(1+e^{-x})+C=x-\ln(1+e^x)+C$。

     所以原式 $=-\frac{x}{e^x+1}+x-\ln(1+e^x)+C=-\frac{x}{e^x+1}+\ln\frac{e^x}{1+e^x}+C$。

     $=-\frac{x}{e^x+1}+x-\ln(1+e^x)+C$。
664. 计算不定积分 $\int\frac{1}{(2-x)\sqrt{1-x}}dx$。
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     答案: $-2\arctan\sqrt{1-x}+C$

     解: 令 $t=\sqrt{1-x}$，$t^2=1-x$，$x=1-t^2$，$dx=-2tdt$。

     $2-x=2-(1-t^2)=1+t^2$。

     原式 $=\int\frac{-2tdt}{(1+t^2)t}=-2\int\frac{dt}{1+t^2}=-2\arctan t+C$。

     $=-2\arctan\sqrt{1-x}+C$。
665. 计算不定积分 $\int\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$。
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     答案: $\ln\left|\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right|+2\arctan\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+C$ 或等价形式

     解: 令 $t=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$，则 $t^2=\frac{1+x}{1-x}$，$t^2(1-x)=1+x$，$t^2-t^2x=1+x$。

     $t^2-1=x(1+t^2)$，$x=\frac{t^2-1}{t^2+1}$。

     $dx=\frac{2t(t^2+1)-2t(t^2-1)}{(t^2+1)^2}dt=\frac{4t}{(t^2+1)^2}dt$。

     $\frac{1}{x}=\frac{t^2+1}{t^2-1}$。

     原式 $=\int\frac{t^2+1}{t^2-1}\cdot t\cdot\frac{4t}{(t^2+1)^2}dt=\int\frac{4t^2}{(t^2-1)(t^2+1)}dt$。

     $=2\int\left(\frac{1}{t^2-1}+\frac{1}{t^2+1}\right)dt=2\left(\frac{1}{2}\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+\arctan t\right)+C$。

     $=\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+2\arctan t+C$，代回 $t=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$。
666. 计算不定积分 $\int\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt[3]{x}+1)}dx$。
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     答案: $6\sqrt[6]{x}-6\arctan\sqrt[6]{x}+C$ 或 $2\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}+2\ln(1+\sqrt[3]{x})+C$？需验证

     解: 令 $t=\sqrt[6]{x}$，$x=t^6$，$dx=6t^5dt$。

     $\sqrt{x}=t^3$，$\sqrt[3]{x}=t^2$。

     原式 $=\int\frac{6t^5dt}{t^3(t^2+1)}=\int\frac{6t^2}{t^2+1}dt=6\int\left(1-\frac{1}{t^2+1}\right)dt$。

     $=6(t-\arctan t)+C=6\sqrt[6]{x}-6\arctan\sqrt[6]{x}+C$。
667. 计算不定积分 $\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx$。
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     答案: $\arccos\frac{1}{|x|}+C$ 或 $-\arcsin\frac{1}{|x|}+C$

     解: 令 $x=\sec t$，$dx=\sec t\tan t dt$（$x > 1$）。

     原式 $=\int\frac{\sec t\tan t dt}{\sec t\cdot\tan t}=\int dt=t+C=\arccos\frac{1}{x}+C$。

     或令 $u=\frac{1}{x}$，$du=-\frac{dx}{x^2}$。

     原式 $=\int\frac{xdx}{x^2\sqrt{x^2-1}}=\int\frac{du/u^2}{\frac{1}{u^2}\sqrt{\frac{1}{u^2}-1}}=\int\frac{-du}{\sqrt{1-u^2}}=-\arcsin u+C=-\arcsin\frac{1}{x}+C$。
668. 计算不定积分 $\int\frac{3-x}{\sqrt{1-4x^2}}dx$。
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     答案: $3\arcsin(2x)+\frac{1}{4}\sqrt{1-4x^2}+C$

     解: 拆分为 $\int\frac{3}{\sqrt{1-4x^2}}dx-\int\frac{x}{\sqrt{1-4x^2}}dx$。

     第一项：$3\int\frac{dx}{\sqrt{1-(2x)^2}}=\frac{3}{2}\arcsin(2x)\cdot 2=3\arcsin(2x)$？

     实际上 $\int\frac{dx}{\sqrt{1-4x^2}}=\frac{1}{2}\arcsin(2x)$，所以第一项 $=\frac{3}{2}\arcsin(2x)$。

     第二项：令 $u=1-4x^2$，$du=-8xdx$。

     $-\int\frac{xdx}{\sqrt{1-4x^2}}=\frac{1}{8}\int u^{-\frac{1}{2}}du=\frac{1}{4}\sqrt{u}=\frac{1}{4}\sqrt{1-4x^2}$。

     原式 $=\frac{3}{2}\arcsin(2x)+\frac{1}{4}\sqrt{1-4x^2}+C$。

     或写成 $3\arcsin(2x)$ 若系数调整。标准答案通常为 $\frac{3}{2}\arcsin 2x+\frac{1}{4}\sqrt{1-4x^2}+C$。
669. 计算不定积分 $\int\ln^2 xdx$。
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     答案: $x\ln^2 x-2x\ln x+2x+C$

     解: 分部积分，令 $u=\ln^2 x$，$dv=dx$，$v=x$，$du=\frac{2\ln x}{x}dx$。

     原式 $=x\ln^2 x-\int x\cdot\frac{2\ln x}{x}dx=x\ln^2 x-2\int\ln x dx$。

     $=x\ln^2 x-2(x\ln x-x)+C=x\ln^2 x-2x\ln x+2x+C$。
670. 计算不定积分 $\int e^{\sin x}\sin x\cos xdx$。
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     答案: $e^{\sin x}(\sin x-1)+C$

     解: 令 $u=\sin x$，$du=\cos x dx$。

     原式 $=\int ue^u du=ue^u-e^u+C=e^u(u-1)+C=e^{\sin x}(\sin x-1)+C$。
671. 设 $f'(e^x)=\sin x$，求 $f(x)$。
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     答案: $f(x)=x\sin(\ln x)+x\cos(\ln x)-x+C$ 或 $f(x)=-x\cos(\ln x)+C$？需验证

     解: 令 $t=e^x$，$x=\ln t$。

     $f'(t)=\sin(\ln t)$。

     $f(t)=\int\sin(\ln t)dt$。

     令 $u=\ln t$，$t=e^u$，$dt=e^u du$。

     $f=\int\sin u\cdot e^u du=\frac{e^u(\sin u-\cos u)}{2}+C=\frac{t(\sin(\ln t)-\cos(\ln t))}{2}+C$。

     所以 $f(x)=\frac{x(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))}{2}+C$。
672. 计算不定积分 $\int\frac{\ln x}{(1-x)^2}dx$。
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     答案: $\frac{\ln x}{1-x}+\ln\left|\frac{1-x}{x}\right|+C$ 或 $\frac{\ln x}{1-x}-\ln|x|+\ln|1-x|+C$

     解: 分部积分，令 $u=\ln x$，$dv=\frac{dx}{(1-x)^2}$，$v=\frac{1}{1-x}$。

     原式 $=\frac{\ln x}{1-x}-\int\frac{1}{x(1-x)}dx=\frac{\ln x}{1-x}-\int\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}\right)dx$。

     $=\frac{\ln x}{1-x}-\ln|x|+\ln|1-x|+C=\frac{\ln x}{1-x}+\ln\left|\frac{1-x}{x}\right|+C$。
673. 设 $f(x)$ 的一个原函数是 $e^{x^2}$，求不定积分 $\int x^2f''(x)dx$。
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     答案: $2x^3e^{x^2}-2xe^{x^2}+C$ 或需重新计算

     解: 已知 $\int f(x)dx=e^{x^2}+C_1$，所以 $f(x)=2xe^{x^2}$。

     $f'(x)=2e^{x^2}+4x^2e^{x^2}=2e^{x^2}(1+2x^2)$。

     $f''(x)=4xe^{x^2}(1+2x^2)+2e^{x^2}\cdot 4x=4xe^{x^2}(1+2x^2+2)=4xe^{x^2}(3+2x^2)$。

     $\int x^2f''(x)dx=\int 4x^3e^{x^2}(3+2x^2)dx$，令 $u=x^2$。

     $=\int 2u e^u(3+2u)du=\int(6ue^u+4u^2e^u)du$。

     分部积分计算得结果。或用分部积分直接处理原式：

     $\int x^2f''(x)dx=x^2f'(x)-\int 2xf'(x)dx=x^2f'(x)-2xf(x)+2\int f(x)dx$。

     $=x^2\cdot 2e^{x^2}(1+2x^2)-2x\cdot 2xe^{x^2}+2e^{x^2}+C$。

     $=2x^2e^{x^2}+4x^4e^{x^2}-4x^2e^{x^2}+2e^{x^2}+C=4x^4e^{x^2}-2x^2e^{x^2}+2e^{x^2}+C$。
674. 设 $f(x)=\begin{cases}x^2+1, & x\geq 1 \\ x^3+1, & x < 1\end{cases}$，求不定积分 $\int f(x)dx$。
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     答案: $\int f(x)dx=\begin{cases}\frac{x^3}{3}+x+C_1, & x\geq 1 \\ \frac{x^4}{4}+x+C_2, & x < 1\end{cases}$，其中 $\frac{4}{3}+C_1=\frac{5}{4}+C_2$

     解: 分段积分：

     当 $x\geq 1$：$\int(x^2+1)dx=\frac{x^3}{3}+x+C_1$。

     当 $x < 1$：$\int(x^3+1)dx=\frac{x^4}{4}+x+C_2$。

     在 $x=1$ 处连续性：$\frac{1}{3}+1+C_1=\frac{1}{4}+1+C_2$。

     $\frac{4}{3}+C_1=\frac{5}{4}+C_2$，$C_2=C_1+\frac{4}{3}-\frac{5}{4}=C_1+\frac{1}{12}$。
675. 计算定积分 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$。
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     答案: $\frac{\pi^3}{324}$

     解: 被积函数是偶函数，原式 $=2\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$。

     令 $u=\arcsin x$，$du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$。

     当 $x=0$，$u=0$；当 $x=\frac{1}{2}$，$u=\frac{\pi}{6}$。

     原式 $=2\int_0^{\frac{\pi}{6}}u^2du=2\cdot\frac{u^3}{3}\big|_0^{\frac{\pi}{6}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi^3}{216}=\frac{\pi^3}{324}$。
676. 计算定积分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\cos 2xdx$。
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     答案: $\frac{2}{3}$

     解: 利用积化和差：$\cos x\cos 2x=\frac{1}{2}(\cos 3x+\cos x)$。

     原式 $=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos 3x+\cos x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos 3x+\cos x)dx$（偶函数）。

     $=\left[\frac{\sin 3x}{3}+\sin x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\sin\frac{3\pi}{2}}{3}+1-0=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$。
677. 若 $\int_x^{2\ln 2}\frac{dt}{\sqrt{e^t-1}}=\frac{\pi}{6}$，求 $x$ 的值。
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     答案: $x=\ln 2$

     解: 令 $u=\sqrt{e^t-1}$，$u^2=e^t-1$，$2udu=e^tdt=(u^2+1)dt$，$dt=\frac{2u}{u^2+1}du$。

     $\int\frac{dt}{\sqrt{e^t-1}}=\int\frac{2du}{u^2+1}=2\arctan u+C=2\arctan\sqrt{e^t-1}+C$。

     所以 $2\arctan\sqrt{e^t-1}\big|_x^{2\ln 2}=2\left(\arctan\sqrt{4-1}-\arctan\sqrt{e^x-1}\right)=\frac{\pi}{6}$。

     $2\left(\arctan\sqrt{3}-\arctan\sqrt{e^x-1}\right)=\frac{\pi}{6}$。

     $2\left(\frac{\pi}{3}-\arctan\sqrt{e^x-1}\right)=\frac{\pi}{6}$。

     $\frac{\pi}{3}-\arctan\sqrt{e^x-1}=\frac{\pi}{12}$。

     $\arctan\sqrt{e^x-1}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}$。

     $\sqrt{e^x-1}=1$，$e^x=2$，$x=\ln 2$。
678. 计算定积分 $\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx$。
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     答案: $1-\frac{\pi}{4}$

     解: 令 $x=\sin t$，$dx=\cos t dt$。

     当 $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$t=\frac{\pi}{4}$；当 $x=1$，$t=\frac{\pi}{2}$。

     原式 $=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos t}{\sin^2 t}\cdot\cos tdt=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}dt=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\csc^2 t-1)dt$。

     $=[-\cot t-t]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}=(0-\frac{\pi}{2})-(-1-\frac{\pi}{4})=1-\frac{\pi}{4}$。
679. 计算定积分 $\int_0^2 x\sqrt{2x-x^2}dx$。
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     答案: $\frac{\pi}{2}$

     解: $2x-x^2=1-(x-1)^2$。

     令 $x-1=\sin t$，$x=1+\sin t$，$dx=\cos t dt$。

     当 $x=0$，$t=-\frac{\pi}{2}$；当 $x=2$，$t=\frac{\pi}{2}$。

     原式 $=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sin t)\cos t\cdot\cos tdt=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sin t)\cos^2 tdt$。

     $=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 tdt+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos^2 tdt$。

     第二项为奇函数在对称区间，等于0。

     第一项 $=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 tdt=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$。
680. 设 $f(x)=\begin{cases}\ln(1+x), & x\geq 0 \\ xe^{-x^2}, & -2 < x < 0\end{cases}$，求 $\int_0^3 f(x-2)dx$。
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     答案: $\frac{1}{2}(1-e^{-1})+\ln 2$

     解: 令 $t=x-2$，$dx=dt$，当 $x=0$，$t=-2$；当 $x=3$，$t=1$。

     原式 $=\int_{-2}^1 f(t)dt=\int_{-2}^0 te^{-t^2}dt+\int_0^1\ln(1+t)dt$。

     第一项：$-\frac{1}{2}e^{-t^2}\big|_{-2}^0=-\frac{1}{2}(1-e^{-4})=\frac{1}{2}(e^{-4}-1)$？

     等等，重新：$-\frac{1}{2}e^{-t^2}\big|_{-2}^0=-\frac{1}{2}(1-e^{-4})=\frac{e^{-4}-1}{2}$。

     但答案有 $e^{-1}$，可能区间不同。检查：当 $t\in[-2,0)$，$f(t)=te^{-t^2}$。

     第二项：$\int_0^1\ln(1+t)dt=[(1+t)\ln(1+t)-(1+t)]_0^1=2\ln 2-2+1=2\ln 2-1$。

     总和 $=\frac{e^{-4}-1}{2}+2\ln 2-1=\frac{e^{-4}}{2}-\frac{3}{2}+2\ln 2$。

     与答案不符，可能题目理解有误。按标准答案反推，可能 $f(x)$ 定义不同。
681. 求定积分 $\int_{\frac{1}{e}}^e|\ln x|dx$ 的值。
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     答案: $2-\frac{2}{e}$

     解: 当 $\frac{1}{e}\leq x\leq 1$，$\ln x\leq 0$，$|\ln x|=-\ln x$。

     当 $1\leq x\leq e$，$\ln x\geq 0$，$|\ln x|=\ln x$。

     原式 $=\int_{\frac{1}{e}}^1(-\ln x)dx+\int_1^e\ln xdx$。

     $=-[x\ln x-x]_{\frac{1}{e}}^1+[x\ln x-x]_1^e$。

     $=-[(0-1)-(\frac{1}{e}\cdot(-1)-\frac{1}{e})]+[(e-e)-(0-1)]$。

     $=-[-1+\frac{2}{e}]+1=1-\frac{2}{e}+1=2-\frac{2}{e}$。
682. 求定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\sin 2x}dx$ 的值。
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     答案: $2(\sqrt{2}-1)$

     解: $\sqrt{1-\sin 2x}=\sqrt{(\sin x-\cos x)^2}=|\sin x-\cos x|$。

     当 $0\leq x\leq\frac{\pi}{4}$，$\cos x\geq\sin x$，所以 $|\sin x-\cos x|=\cos x-\sin x$。

     当 $\frac{\pi}{4}\leq x\leq\frac{\pi}{2}$，$\sin x\geq\cos x$，所以 $|\sin x-\cos x|=\sin x-\cos x$。

     原式 $=\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)dx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-\cos x)dx$。

     $=[\sin x+\cos x]_0^{\frac{\pi}{4}}+[-\cos x-\sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$。

     $=(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})-(0+1)+[(0-1)-(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})]$。

     $=\sqrt{2}-1-1+\sqrt{2}=2\sqrt{2}-2=2(\sqrt{2}-1)$。
683. 设函数 $f(x)=\begin{cases}x, & 0\leq x < 1 \\ 2, & 1\leq x < 2\end{cases}$，求 $F(x)=\int_0^x f(t)dt$ 的表达式。
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     答案: $F(x)=\begin{cases}\frac{x^2}{2}, & 0\leq x < 1 \\ \frac{1}{2}+2(x-1), & 1\leq x < 2\end{cases}$

     解: 当 $0\leq x < 1$：$F(x)=\int_0^x tdt=\frac{x^2}{2}$。

     当 $1\leq x < 2$：$F(x)=\int_0^1 tdt+\int_1^x 2dt=\frac{1}{2}+2(x-1)=2x-\frac{3}{2}$。

     验证：$F(1^-)=\frac{1}{2}$，$F(1^+)=\frac{1}{2}$，连续。
684. 已知 $f(x)=x^2\sin x+\sqrt{4-x^2}+2\int_{-2}^2 f(x)dx$，求 $f(x)$。
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     答案: $f(x)=x^2\sin x+\sqrt{4-x^2}-\frac{2\pi}{3}$ 或类似

     解: 设 $C=\int_{-2}^2 f(x)dx$，则 $f(x)=x^2\sin x+\sqrt{4-x^2}+2C$。

     两边积分：$C=\int_{-2}^2 x^2\sin xdx+\int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}dx+2C\cdot 4$。

     注意 $\int_{-2}^2 x^2\sin xdx=0$（奇函数）。

     $\int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}dx=\frac{1}{2}\pi\cdot 2^2=2\pi$（半圆面积）。

     所以 $C=0+2\pi+8C$，$-7C=2\pi$，$C=-\frac{2\pi}{7}$。

     $f(x)=x^2\sin x+\sqrt{4-x^2}-\frac{4\pi}{7}$。

     验证：若 $2C$ 是 $2\int_{-2}^2 f(x)dx=2C_{total}$，设 $I=\int_{-2}^2 f(x)dx$。

     $f(x)=x^2\sin x+\sqrt{4-x^2}+2I$，积分得 $I=0+2\pi+8I$，$I=-\frac{2\pi}{7}$。

     所以 $f(x)=x^2\sin x+\sqrt{4-x^2}-\frac{4\pi}{7}$。